Le pique-nique

Un homme part faire un pique-nique en carriole avec des amis. Au début, chaque carriole transporte le même nombre de personnes. 10 des carrioles deviennent inutilisables en cours de route, si bien que chacune des carrioles restante doit prendre une personne de plus à son bord. Au retour, 15 autres carrioles tombent en panne et les passagers concernés sont répartis équitablement dans les autres véhicules. A l'arrivée, chaque carriole contient 3 personnes de plus qu'au départ.

Combien y avait-il de carrioles au départ pour ce pique-nique et combien y avait-il de participants ?

Réponse
Soit x le nombre de participants. Soit y le nombre initial de carrioles. Le nombre initial de personnes par carriole est donc x/y.

1ère étape : 10 carrioles tombent en panne. Le nombre de carriole devient y-10. Le nombre de personnes par carriole est maintenant de x/(y-10).

Comme on sait que le nombre de personnes par carriole a été augmenté de 1, on en déduit  que :

x / (y-10) = x/y + 1
x = (y - 10) (x/y + 1)
x = x + y - 10x/y - 10
0 = y - 10x/y - 10
10x/y = y - 10
x = (y² - 10y) / 10 (équation A)

2ème étape : 15 carrioles tombent en panne. Le nombre de carriole devient y-25. Le nombre de personnes par carriole est maintenant de x/(y-25).

Comme on sait que le nombre de personnes par carriole a augmenté de 3 par rapport au début, on en déduit que :

x/(y-25) = x/y + 3
x = (y - 25) (x/y + 3)
x = x + 3y - 15x/y - 75
0 = 3y - 25x/y - 75
25x/y = 3y - 75
x = (3y² - 75 y) / 25 (équation B)

Équations A et B :

(y² - 10y) / 10 = (3y² - 75 y) / 25
y/10 - 1 = 3y/25 - 3
2 = (3/25 - 1/10) y
2y/100 = 2

y = 100

Équation A :

x = (100² - 10*100) / 10

x = 900

Donc le nombre de participants est de 900 et le nombre initial de carrioles de 100.

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