Le hasard fait-il bien les choses ?

Patrick retrouve son frère Antioco à son retour de Moscou. Ils sont à la mairie et devant la lenteur des fonctionnaires et la queue grandissante, ils cherchent un jeu pour passer le temps.  Patrick tombe sur le livre des communes de France et propose un pari à son frère. Voici l'objet du pari : "ce livre contient la liste de toutes les communes de France, avec leur surface en mètres carrés et leur nombre d'habitants. Je te propose le jeu suivant. On ouvre le livre au hasard, et on pointe toujours au hasard le doigt sur une commune. On regarde le nombre de ses habitants et , plus précisément, le premier chiffre composant ce nombre. Si ce chiffre est supérieur ou égal à 5 , je t'offre à déjeuner. Sinon c'est toi qui m'invite."

Antioco fait mentalement le raisonnement suivant : "Il y a 9 chiffres possibles pour débuter un nombre ; cinq d'entre eux me font gagner, et les 4 autres font gagner  Patrick. J'ai donc un peu plus de chances de gagner que lui. Je vais accepter le pari. Pourtant , j'ai l'impression que je vais encore lui payer à déjeuner."

A votre avis, les craintes d’Antioco sont-elles justifiées ?

Le raisonnement d’Antioco est faux, car il est basé sur le fait que le premier chiffre du nombre d'habitants d'une commune française a autant de chance d'être un 1 plutôt qu'un 2,un 3 etc.... En fait, plus ce chiffre est petit, plus il a de chance de figurer en tête du nombre. Ce n'est pas une particularité des communes françaises : la même propriété se retrouverait avec n'importe quelle autres liste de valeurs. Ce phénomène est connu des mathématiciens sous le nom de loi de Benford ;

Antioco a donc plus de chance d'avoir à régler l'addition ! 

Selon la loi de Bendford : 

Fréquences relatives d'apparition du 1er chiffre (base 10) (%) 

Pour en savoir plus sur la loi de Benford, cliquez ici

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