Les peintres

Un peintre en bâtiment  est à son travail dès le matin. Un peu plus tard, un deuxième peintre vient l'épauler. Au bout du même temps, un troisième collègue arrive. Et ainsi de suite jusqu'à ce que toute une équipe termine le travail. Le premier peintre a travaillé 3 fois plus longtemps que le dernier peintre arrivé et il n'aurait travaillé que 8 heures si l'équipe entière avait commencé dès le début. Combien de temps le premier peintre a-t-il travaillé ?... 

Réponse
P =  le nombre de peintres
T =  le temps de travail du premier peintre.
I = l'intervalle de temps entre chaque peintre.

1 )
T - I temps de travail du 2e peintre.
T - 2I temps de travail du 3e peintre et ainsi de suite.

On a donc T + (T-I) + (T-2I) + ... + T - ( P-2)I + T - ( P-1)I = 8P

2 )
T/3 temps de travail du dernier peintre.
(T/3)+I temps de travail de l'avant-dernier peintre et ainsi de suite.

On a donc (T/3) + (T/3 + I) + (T/3 + 2I) + ... (T/3 + (P-2)I) + ( T/3 + (P-1)I ) = 8P

On obtient donc :

d'après 1 ) :  PT - I - 2I - 3I ... - (P-2)I - (P-1)I = 8P
d'après 2 ) :  PT/3 + I + 2I + 3I ... + (P-2)I + (P-1)I = 8P

en ajoutant membre en membre ces 2 égalités on obtient :

PT + ( PT/3) = 16 P donc T + (T/3) = 16

T=12.

Le premier peintre a donc travaillé 12 heures.