Les canettes

Un manutentionnaire reçoit une note urgente de son chef concernant la dernière livraison de dix cartons de 24 canettes de bière.  
Une erreur de remplissage affecte toutes les canettes d'un même carton. Toutes les canettes de ce carton contiennent en effet 30 cl de bière à la place des 33 cl habituels.
Selon la note de son chef, ce carton doit être enlevé de la livraison pour être retourné à l'expéditeur et échangé. Il n'y a qu'à peser les canettes, précise la note.
Le manutentionnaire dispose d'une balance qui rend le poids précis de la charge imprimé sur un ticket contre une pièce d'un euro. Il ne dispose que de deux pièces de un euro, mais parvient quand même à découvrir à coup sûr quel carton contient les canettes fautives.
Comment a-t-il fait ?
Attention le poids du conteneur (cannette vide) n'est pas négligeable !

La réponse
Il numérote les cartons de 1 à 10.
Il prend une canette du carton 1 et la pèse avec son premier euro.
Il note le poids p.
Il estime la densité de la bière égale à 1 (celle de l'eau), ce qui est légitime et qui n'influence pas le résultat. 33cl de bière pèse donc à peu près 330g.
Il en déduit un poids supposé du conteneur :
p - 300g si cette première canette est fautive.
p - 330g si cette première canette est une bonne cannette.

Il prend ensuite une canette du carton 2, deux du carton 3, trois du carton 4, etc. jusqu'à neuf du carton 10.

Il pèse ces 45 canettes avec son dernier euro, il note un poids P.

Si la première canette pesée est une cannette fautive, les 45 autres cannettes sont bonnes. Le poids P mesuré sera dans ce cas :
P = (45 x 330gr) + 45(p - 300gr) = 14850g + 45p - 13500g = 45p + 1350gr
(P = 45 fois le poids du liquide + 45 fois le poids supposé du conteneur)

Si la première canette est une bonne cannette, la ou les cannettes fautives doivent se trouver forcément parmi ces 45.
Le poids P mesuré sera au maximum (dans le cas d'une seule canette fautive, c'est-à-dire celle du carton 2) de :
P = (45 x 330gr) + 45(p - 330) - 30 = 14580g + 45p - 14580g - 30g = 45p - 30g
Le poids P mesuré sera au minimum (dans le cas de 9 canettes fautives, c'est-à-dire celles du carton 10) de :
P = (45 x 330g) + 45(p - 330) - 270gr = 14580g + 45p - 14580g - 270gr = 45p - 270gr.

En résumé :
Si P > 45p : le carton 1 est fautif.
Si P < 45p : (45p - P)/30 donne le numéro du carton fautif.